Что такое отрезок в окружности

26.10.202316.07.2023 admin 0 Comments

Геометрия. Урок 5. Окружность

Наслаждайтесь бесплатными обучающими видео на канале Ёжику Понятно.

Эксклюзивные видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подай заявку на подписку!

Содержание страницы:

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, которые находятся на одном и том же расстоянии от данной точки. Окружность – это также множество всех точек, которые равноудалены от заданного центра окружности.

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – это отрезок, соединяющий центр окружности с точкой, принадлежащей окружности.

Хорда a – это отрезок, который соединяет две точки, принадлежащие окружности.

Диаметр d – это хорда, проходящая через центр окружности, и он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – это радиус, D E – это хорда, B C – это диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит эту хорду и стягиваемую ею дугу пополам.

Касательная к окружности – это прямая, которая имеет одну общую точку с окружностью.

Из одной точки, которая находится вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Очереди касательных, которые были проведены из одной точки, равны. ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Дуга в окружности

Теорема 4:
Если хорды на окружности равны, то и дуги между ними будут равны.

Углы в окружности

В окружности можно выделить два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – это угол, вершина которого находится в центре окружности.

∠ A O B – это центральный угол.

Если провести диаметр, он разделит окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, на который она опирается.

Вписанный угол – это угол, вершина которого находится на окружности, а его стороны пересекают окружность.

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Длина окружности, длина дуги

Однако без специальных инструментов видно, что длины дуг различаются. Если значение угла дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который она ограничивает, то величина дуги окружности также зависит от ее радиуса.

Длина окружности находится с использованием следующей формулы:

Площадь круга и его частей

Разговоримся теперь о площади круга, сектора и сегмента.

Круг — это часть пространства, расположенная внутри окружности.

Следовательно, окружность — это граница, а круг — то, что находится внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S=πR²

Сектор — это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги и центр круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α, находится по формуле: S_α=πR²360°⋅α

Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и хордой, соединяющей две точки на дуге.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад «лимонная долька», лук для стрельбы.

Для нахождения площади сегмента нужно сначала вычислить площадь кругового сектора, который содержит данный сегмент, а затем вычесть площадь треугольника, образованного центральным углом и хордой.

S=πR²360°⋅α−12R²sinα

Теорема синусов

Если треугольник является произвольным и вокруг него расположена окружность, то для определения радиуса можно применить теорему синусов:

а sin ∠ А = b sin ∠ B = с sin ∠ C = 2 R. Достаточно знать одну сторону треугольника и синус угла, который противоположен этой стороне. По этим данным можно вычислить радиус описанной окружности.

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль о геометрии предлагает задания, которые связаны с окружностями.

Источник

Определение, свойства и теорема о хорде окружности

Термин «хорда» используется в различных науках. Например, в биологии он означает гибкий скелетный стержень, а в математике — это отрезок, который лежит на окружности. В геометрии хорда окружности — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Он является частью прямой, которая проходит через окружность.

Хорда в геометрии

Каждая хорда окружности имеет свою уникальную длину. Её можно рассчитать, используя теорему синусов. Формула для определения длины хорды следующая: B*A = R*2 * sin α, где R — радиус окружности, AB — длина хорды, α — вписанный угол. Также, можно использовать другую формулу, которая происходит из теоремы Пифагора: B*A = R*2 * sin α/2, где AB — длина хорды, α — центральный угол, R — радиус окружности.

При рассмотрении хорд вместе с дугами, возникают другие геометрические объекты. Например, можно выделить сектор и сегмент. Сектор создаётся при помощи двух радиусов и дуги. Площадь сектора может быть рассчитана, а если сектор является частью конуса, то также можно найти его высоту. Сегмент состоит из хорды и дуги.

Если вы хотите проверить правильность своих вычислений в отношении длины хорды, вы можете воспользоваться онлайн-калькуляторами в Интернете. Они представлены в виде таблицы, в которую нужно вписать известные параметры, а программа сама выполнит все необходимые вычисления.

Это очень удобная функция, поскольку позволяет избежать необходимости запоминать различные уравнения и сложные расчеты.

Свойства отрезка окружности

Для успешного решения задач по геометрии необходимо обладать знаниями о свойствах хорды окружности. Хорда, как элемент окружности, обладает следующими характеристиками:

Важно выделить еще одно особое свойство хорды, помимо ее базовых характеристик внутри круга. Оно формулируется в теореме о пересекающихся хордах.

Ключевая теорема

Классическая теорема говорит о взаимосвязи хорды, деленной на отрезки. Точнее, если хорды пересекаются и делятся внешней точкой на отрезки, то произведения длин отрезков первой хорды будут равны произведению длин отрезков второй хорды. Математически это записывается как AE*BE= EC*ED. Сейчас мы докажем эту теорему.

Для начала, проведем отрезки CB и AD. Затем рассмотрим треугольники CEB и DEA. Они сходны между собой: євершины ЗЕС и равны (вследствие вертикальных углов), а также неравности dega и what (. Перипетиюй czo sono chevdnywnpk на сите две на основж фагте SUC две на ту I FWEJE WEETH этих тревиглиниах: CGB/ Wech BE/ED Wmauk tenveu д знеб Bubeed.

AX Bne б, еще у корты Bестvильтуюек xatt»шиша аи Ftnjknj /+Касательная и секущая

Имеется теорема о двух касательных, проведенных с одной точки. В ней утверждается, что если имеются две прямые OK и ON, проведенные через точку O, то они будут равны друг другу. Мы перейдем к доказательству этой теоремы.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFD и AED. Так как катеты DF и DE равны, так как они являются радиусами окружности, и AD является общей гипотенузой, то эти треугольники будут равны согласно признаку равенства треугольников, откуда следует, что AF = AE.

Если возникает ситуация, когда касательная и секущая пересекаются, то можно вывести следующую закономерность. Рассмотрим и докажем, что AB 2 = AD * AC.

Предположим, у нас есть касательная AB и секущая AD, проходящие через одну точку A. Обратим внимание на угол ABC, который опирается на дугу BC. Согласно свойству этого угла, его мера будет равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Из свойства вписанного угла следует, что угол BDC также равен половине дуги BC. Таким образом, треугольники ABD и ABC будут подобны согласно признаку подобия треугольников, так как угол A является общим, а угол ABC равен углу BDC. Используя теорию, мы получаем соотношение: AB/CA = DA/AB. Если мы перепишем это соотношение в правильной форме, то получим равенство AB 2 = AD * AC, что и требовалось доказать.

Помимо теоремы о двух касательных, также существует теорема о двух секущих. Она формулируется так же просто, как и другие теоремы. Рассмотрим доказательство и убедимся, что AB * AC = AE * AD.

Проведем две прямые через точку A, получим две секущие AC и AE. Дорисуем две хорды, соединяющие точки C и B, B и D. Таким образом, получим два треугольника ABD и CEA. Обратим внимание на вписанный четырехугольник BDCE. Согласно свойству вписанных четырехугольников, углы BDE и ECB в сумме равны 180 градусов. А также сумма углов BDA и BDE также равна 180 градусов, по свойству смежных углов.

Отсюда мы можем получить два уравнения, из которых следует, что углы ECB и BDA равны: BDA + BDE = 180; BDE + ECB = 180. Запишем все это в систему уравнений, вычтем первое уравнение из второго и получим результат, что ECB = BDA.

Если мы вспомним о треугольниках ABD и CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А является общим, а углы ECA и BDA равны. Теперь мы можем записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В результате получаем AB * AC = AE * AD.

Решение задач

Решение задач, связанных с окружностью, часто опирается на использование хорды — главного элемента, относительно которой можно определить другие неизвестные величины. Во многих задачах вводятся два известных параметра, чтобы найти третий неизвестный параметр. Важно отметить, что в задачах, связанных с кругом, хорда является обязательным элементом:

Для более наглядного решения задач, связанных с отрезком на окружности, удобно использовать схематические рисунки. Они могут быть нарисованы с использованием линейки и циркуля, что делает принципы решения задач очевидными.

Источник: ссылка

Всё про окружность и круг

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.

Хорда – это отрезок, соединяющий две точки окружности. Если хорда проходит через центр окружности, то она является диаметром. Диаметр окружности равен удвоенному радиусу: D = 2R.

Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2.

Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на их биссектрисе угла BAC.

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Дуга – это часть окружности, заключенная между двумя точками.

Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на эту дугу.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны угла пересекают ее.

Если оба вписанных угла опираются на одну и ту же дугу окружности, то вписанный угол равен половине центрального угла. Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, которые лежат на окружности, равны.

Сектор – это геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которые опираются эти радиусы.

Периметр сектора вычисляется по формуле: P = s + 2R.

Площадь сектора вычисляется по формуле: S = Rs/2 = ПR²a/360º.

Сегмент – это геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой дугой.

Источник

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Что такое отрезок в окружности. Смотреть фото Что такое отрезок в окружности. Смотреть картинку Что такое отрезок в окружности. Картинка про Что такое отрезок в окружности. Фото Что такое отрезок в окружности

Отрезки и линии, связанные с окружностью.

Свойства хорды и дуги окружности.

Теоремы о длинах хорды, касательных и секущих.

Доказательства теорем о длинах хорды, касательной и секущей.

Теорема о бабочке.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Фигура	Рисунок	Определение и свойства
Окружность		Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Окружность		Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Окружность		Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Окружность		Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Круг
	Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Радиус
	Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности
Хорда
	Отрезок, соединяющий две любые точки окружности
Диаметр
	Хорда, проходящая через центр окружности.
Касательная
	Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.
Секущая
	Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Свойства хорд и дуг окружности

Геометрические свойства	Изображение	Описание
Перпендикулярный диаметр к хорде		Если диаметр перпендикулярен к хорде, то он делит эту хорду и создаваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды		Если диаметр проходит через середину хорды, то он перпендикулярен к хорде и делит создаваемые ею две дуги пополам.
Равные хорды		Если хорды равны, то они находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудаленные от центра окружности		Если хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длины		Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дуги		Если дуги равны, то равны и хорды.
Параллельные хорды		Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если диаметр перпендикулярен к хорде, то он делит эту хорду и создаваемые ею две дуги пополам.

Если диаметр проходит через середину хорды, то он перпендикулярен к хорде и делит создаваемые ею две дуги пополам.

Если хорды равны, то они находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Если хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности, то они равны.

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Если дуги равны, то равны и хорды.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Геометрическая фигура	Изображение	Геометрическое тождество
Фигуры с пересекающимися хордами		Перемножение длин отрезков, на которые разбиваются пересекающиеся хорды равно:
Касательные, проведенные к окружности из одной точки		Если к окружности из одной точки провести две касательные, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
Касательные и секущие, проведенные к окружности из одной точки
Секущие, проведенные из одной точки вне окружности		Теорема:
Касательные, проведенные к окружности из одной точки
	Если к окружности из одной точки проведены две касательные, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
Касательные и секущие, проведенные к окружности из одной точки

Секущие, проведенные из одной точки вне окружности
	Теорема: Если к окружности из одной точки провести две касательные, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.